Tugas Kelompok Matematika Informatika 4
Rekursi
2IA14
Anggota
Kelompok 1 :
Angga
Festian R (50416846) Arif
dwi Muttaqin (51416057) Bryantama
Putra (51416485) Costa
Jeremy (51416645) Erlangga
Rizky (52416369) Ghozi
Fattah Allauddin (53416025) Hendra
Alifiyanto (53416264) M.
Fikry M (54416858) M.
Iqbal Prawira SE (54416943) Melinda
Putri Juliani (54416367) Ramadhani
Rezky F (56416046) Risky
Saputra (56416495) Yeni
Erlinda (57416739)
1.) Solusi homogen
dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 =
0 dengan kondisi batas b0 = 0 , b1 = 1 adalah…
a. bn(h)=
A1 (-3)n+ A2 . 2n
b. bn(h) = (-3)n + . 2n
c. (a+ 3) (a- 2)
d. b0(h) =
A1 (-3)0 + A2 . 20
Jawab :
bn + bn-1 – 6 bn-2 = 0
= a2 + a - 6 = 0
= (a + 3) (a - 2) = 0
a1 =
-3 a2 = 2.
Solusi homogen = bn(h)=
A1 a1n+ A2 a2n =>bn(h)=
A1 (-3)n+ A2 . 2n
Dengan kondisi batas b0=
0 dan b1= 1 ,maka:
b0(h) =
A1 (-3)0 + A2 . 20 => 0
= A1 + A2 .
b1(h) =
A1 (-3)1 + A2 . 21 => 1
= -3 A1 + 2 A2
maka akan diperoleh
harga A1 = (- ) dan A2 =
jawab homogen dari
relasi rekurensi bn+ bn-1 – 6bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + . 2n
2.) Mana diantara
berikut yang merupakan solusi dari relasi rekurensi dari :
an + 4
an-1 + 4 an-2 = 2n .
a. an(h) =
(A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,
an(h) = (A1 n + A2 )
(-2)n .
b. an(h) =
(A1 n + A2 ) (-2)n .
c. an(h) =
(A1 nm-1 + A2 nm-2) a1n ,
d. an(h) =
(A1 nm-1) an(h) =
(A1 n + A2 ) (-2)n .
Jawab :
Relasi rekurensi
homogen
: an +
4 an-1 + 4 an-2 =0.
Persamaan
karakteristiknya
adalah a2 + 4 a + 4 = 0
(a+ 2) (a + 2) = 0
Hingga diperoleh
akar-akar
karakteristik a1 = a2 = -2
, m = 2,
Oleh karena akar-akar
karakteristiknya ganda, maka solusi homogennya berbentuk an(h) =
(A1nm-1 + A2 nm-2) a1n ,an(h) =
(A1 n + A2 ) (-2)n .
3.) Diketahui suatu
barisan c0, c1, c2, … didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :
Untuk semua bilangan
bulat k ≥ 2,
Ck = (ck-1 + k) (ck-2
+ 1)
Dengan kondisi awal c0
= 1 dan c1 = 2.
Ditanya : Hitunglah c5
!
a. C5 = 90
b. C5 = 92
c. C5 = 84
d. C5
= 94
Penyelesaian :
Oleh karena barisan
didefinisikan secara rekursif, maka c5 tidak bias dihitung secara langsung,
tetapi harus terlebih dahulu menghitung c2, c3 dan c4.
· c2 = c1 + 2 c0 + 1
= 2 + 2.1 + 1 = 5
· c3 = c2 + 3 c1 + 1
= 5 + 3.2 + 1 = 12
· c4 = c3 + 4 c2 + 1
= 12 + 4.5 + 1 = 33
· c5 = c4 + 5 c3 + 1
= 33 + 5.12 + 1 = 94
Jadi, c5 = 94
4.) Tentukan solusi
homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 – 6 bn-2 =
0 dengan kondisi batas b0= 0 , b1 = 1 .
a. bn(h) = .3n + .2n
b. bn(h) = (-3)n + 2n .
c. bn(h) = (-3)n + .2n .
d. bn(h) = (-2)n + .3n
Penyelesaian :
Relasi rekurensi
tersebut adalah relasi rekurensi homogen, karena f(n)=0.
Persamaan
karakteristik dari relasi rekurensi bn + bn-1 –
6 bn-2 = 0 adalah a2 + a - 6 = 0
atau (a+ 3) (a - 2) = 0 hingga diperoleh akar-akar karakteristik a1 =
-3 dan a2 = 2.
Oleh karena akar-akar
karakteristiknya berbeda, maka solusi homogennya berbentuk bn(h) =
A1a1n + A2 a2n Þ bn(h) =
A1 (-3)n + A2 . 2n.
Dengan kondisibatas b0 =
0 dan b1 = 1 ,maka:
b0(h) =
A1 (-3)0 + A2 . 20 Þ 0
= A1 + A2 .
b1(h) =
A1 (-3)1 + A2 . 21 Þ 1
= -3 A1 + 2 A2 .
Bila diselesaikan maka
akan diperoleh harga A1 = (-1/5) dan A2 = 1/5 ,
sehingga jawab homogen dari relasi rekurensi bn + bn-1 –
6 bn-2 = 0 adalah bn(h) = (-3)n + .2n .
5.) Tentukan solusi
homogen dari relasi rekurensi 4 an - 20 an-1 +
17 an-2 – 4 an-3 = 0.
a. an(h) =
(A1 n + A2 ) (½)n + A1 . 4n.
b. an(h) =
(A2 n - A1 ) (½)n + A3 .
4n.
c. an(h) =
(A1 n - A2 ) (½)n + A3 .
3n.
d. an(h) =
(A1 n + A2 ) (½)n + A3 .
4n.
Penyelesaian :
Persamaan
karakteristiknya: 4 a3 - 20 a2 + 17 a - 4 = 0
Akar-akar
karakteristiknya: ½
, ½ dan 4
Solusi homogennya
berbentuk: an(h) =
(A1 n + A2 ) (½)n + A3 .
4n.
6.) n
- n-1 =2n2,n 1, dan 0 = 9 ……
a. 5
+ (n) (n+1)(4n+2)
b. 9
+ (n) (n+1)(2n+1)
c. 2
+ (n+2)(n)(n+2n)
d. 9
+ (n)(n+1)(2n+1)
Penyelesaian :
f(n) = 2n2, sehingga
solusi umumnya :
n = 0 + (i)
= 0 + 2
= 0+
2
= 9
+ (n) (n+1)(2n+1)
7.) Diketahui relasi
rekurensi Sn = 2Sn-1 dengan syarat awal S0 = 1. Selesaikan untuk suku ke-n!
a.
2n
b. 4n
c. n
d. 2
Penyelesaian dengan
iterasi diperoleh :
Sn = 2Sn-1
= 2 (2Sn-2) = 2Pangkat2
Sn-2
= 2pangkat3Sn-3
= ………
= 2nS0
= 2n
8.) Berapa banyakkah
bilangan Fibonacci antara 10 sampai dengan 100..?
a. 90
b. 9
c. 5
d. 10
Jawab :
Dari tabel di atas,
terlihat bahwa bilangan Fibonacci yang terletak antara 10 hingga 100 adalah
sebanyak 5 (lima) buah, yaitu suku ke-6 (13), suku ke-7 (21), suku ke-8 (34),
suku ke-9 (55), dan suku ke-10 (89). Dengan demikian, jawabannya adalah 5.
9.) Dengan mengambil satu
harga n kemudian anda menjumlahkan bilangan-bilangan tersebut mulai dari f1
sampai dengan fn maka berapakah n terkecil agar jumlah itu > 150..?
a. 9
b.
10
c. 11
d. 15
Jawab :
Dari tabel di atas
juga, dapat kita ketahui bahwa nilai n terkecil agar jumlah seluruh bilangan
Fibonacci dari f1 hingga fn> 150 adalah sebesar 10 (n=10), yang akan
menghasilkan jumlah sebesar 231 (diperoleh dari = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 +
34 + 55 + 89, yang merupakan bilangan Fibonacci dari suku ke-1 hingga suku
ke-10). Sehingga, jawaban yang benar adalah 10.
10.) Selesaikan relasi rekurensi
an = 7an -1 , n > 1, a2= 98
a. an= 7n (2) , n >
1
b. an= 7n (1) , n >
0
c. an= 7n , n > 2
d.
an = 7n (2) , n > 0
Penyelesaian :
Untuk n = 1 maka a1 =
7 a0 a2 = 7 a1 = 7 (7 a0) = 72a0 dari a2 = 98 maka 98 =
49 a0
Sehingga diperoleh a0
= 2. Jika relasi rekurensi tersebut dideretkan terus akan diperoleh:
a3 = 7 a2 = 7 (7
pangkat 2 a0) = 7 pangkat 3 a0 .......... dan seterusnya
Sehingga penyelesaian
umum dari relasi rekurensi di atas adalah an = 7n (2) , n > 0
